在产品概念设计阶段，全面了解产品的整体温度分布及各组件之间的能量传递至关重要，而不仅仅关注单个组件内部的温度分布。为此，需要一种能够高效简化和加速计算、同时保持可接受精度水平的仿真方法。集总参数热网络（LPTN）方法能够有效满足上述要求，该方法的基本原理如图1所示。
图1：简化传热系统及其对应的热网络
如图1所示，控制体内系统的物理属性被集总于各节点（a、b、c、d和e）处。这些节点处的温度代表系统的整体温度。节点之间通过传热路径相互连接，形成复杂的热网络。沿每条路径，热阻（类比于电阻）作为能量传递过程的阻力而存在。利用热网络方法可以实现对系统的简化与建模。
节点和热阻是LPTN方法的基本组成要素。该方法还进一步依赖于传热模式及其他物理场景。
节点分类 在LPTN中，节点代表控制体内系统的物理属性，包括体积、质量、材料属性和温度。根据热容的不同，节点可分为三种类型：
表面节点 ：代表体积为零、因而热容为零的表面。体积节点 ：代表控制体的主体，集总其物理属性（质量、体积、材料属性）。具有有限热容，可存储热能。边界节点 ：代表温度固定的环境或热源。由于其温度在热交换过程中保持不变，因此被视为具有无限热容。热阻 热阻取决于能量传递的模式。传热模式可分为四种类型：
导热 对流换热 辐射换热 质量传递（特殊情况） 前三种传热模式——导热、对流换热和辐射换热——均遵循能量从高温区流向低温区的基本原理，由温度梯度驱动。第四种模式较为特殊，依赖于质量输运而非温度梯度。热阻计算详见下一节。
控制方程与热阻计算 控制方程 对于图1中的每个离散节点，能量守恒原理成立：
∑ j = 1 n Q ˙ i j + S i = ρ i V i C _ p i d T i d t (1) \sum_{j=1}^{n} \dot{Q}_{ij} + S_i = \rho_i V_i C\_{pi} \frac{dT_i}{dt} \tag{1} j = 1 ∑ n Q ˙ ij + S i = ρ i V i C _ p i d t d T i ( 1 ) 其中，Qij 表示节点 i 与节点 j 之间的热流量，单位为瓦特 [W]，即节点 i 与节点 j 之间的能量传递。需要注意的是，流入节点 i 的能量为负值，流出节点 i 的能量为正值。Si 为节点 i 的热源，单位为 W；ri、Vi、Cpi 和 Ti 分别为节点 i 的密度（kg/m³）、体积（m³）、比热容（J/kg·K）和温度（K）。
方程（1）的含义是：流入节点 i 的净能量等于节点 i 中储存的能量。对于稳态问题，温度不随时间变化，方程右侧为零。
节点 i 与节点 j 之间热流量的表达式为（类比于电流 = 电压差/电阻）：
Q ˙ i j = T i − T j R _ i j (2) \dot{Q}_{ij} = \frac{T_i - T_j}{R\_{ij}} \tag{2} Q ˙ ij = R _ ij T i − T j ( 2 ) 其中，Rij 为节点 i 与节点 j 之间的热阻，代表对能量传递的阻力。
热阻计算 对方程（2）进行变形，得：
R i j = T i − T j Q ˙ i j (3) R{ij} = \frac{T_i - T_j}{\dot{Q}{ij}} \tag{3} R ij = Q ˙ ij T i − T j ( 3 ) 因此，需要找到 Qij 与节点 i 处温度差之间的关系，以获得热阻的表达式。
热传导 ：
根据傅里叶定律：
Q ˙ i j = k ⋅ T i − T j l ⋅ A (4) \dot{Q}_{ij} = k \cdot \frac{T_i - T_j}{l} \cdot A \tag{4} Q ˙ ij = k ⋅ l T i − T j ⋅ A ( 4 ) 其中，l 为特征长度（m），k 为导热系数（W/mK），A 为传热面积（m²）。将方程（4）代入方程（3），得：
R i j = ( T i − T r e f ) ⋅ 1 h A ( T i − T r e f ) = 1 h A (5) R_{ij} = (T_i - T_{ref}) \cdot \frac{1}{hA(T_i - T_{ref})} = \frac{1}{hA} \tag{5} R ij = ( T i − T re f ) ⋅ h A ( T i − T re f ) 1 = h A 1 ( 5 ) 热对流 ：
根据牛顿冷却定律：
Q ˙ i j = h ⋅ ( T i − T _ r e f ) ⋅ A (6) \dot{Q}_{ij} = h \cdot (T_i - T\_{ref}) \cdot A \tag{6} Q ˙ ij = h ⋅ ( T i − T _ re f ) ⋅ A ( 6 ) 其中，h 为对流换热系数（W/m²K），Tref 为参考温度（K），A 为传热面积（m²）。类似地，将方程（6）代入方程（3），得：
R i j = ( T i − T r e f ) ⋅ 1 h A ( T i − T r e f ) = 1 h A (7) R_{ij} = (T_i - T_{ref}) \cdot \frac{1}{hA(T_i - T_{ref})} = \frac{1}{hA} \tag{7} R ij = ( T i − T re f ) ⋅ h A ( T i − T re f ) 1 = h A 1 ( 7 ) 热辐射 ：
假设从节点 i 到节点 j 的辐射为黑体辐射，即角系数为1（即节点 i 发出的所有能量均被节点 j 吸收），则：
Q ˙ i j = ϵ σ ( T i 4 − T j 4 ) A = ϵ σ ( T i 3 + T i 2 T j + T i T j 2 + T j 3 ) ( T i − T j ) A (8) \dot{Q}_{ij} = \epsilon \sigma(T_i^4 - T_j^4)A = \epsilon \sigma(T_i^3 + T_i^2T_j + T_iT_j^2 + T_j^3)(T_i - T_j)A \tag{8} Q ˙ ij = ϵ σ ( T i 4 − T j 4 ) A = ϵ σ ( T i 3 + T i 2 T j + T i T j 2 + T j 3 ) ( T i − T j ) A ( 8 ) 其中，ε 为玻尔兹曼常数（W/m²K⁴），σ 为发射率，A 为传热面积（m²）。类似地，将方程（8）代入方程（3），得：
R i j = ( T i − T j ) ⋅ 1 ϵ σ ( T i 3 + T i 2 T j + T i T j 2 + T j 3 ) ( T i − T j ) A = 1 ϵ σ ( T i 3 + T i 2 T j + T i T j 2 + T j 3 ) (9) R_{ij} = (T_i - T_j) \cdot \frac{1}{\epsilon \sigma(T_i^3 + T_i^2T_j + T_iT_j^2 + T_j^3)(T_i - T_j)A} = \frac{1}{\epsilon \sigma(T_i^3 + T_i^2T_j + T_iT_j^2 + T_j^3)} \tag{9} R ij = ( T i − T j ) ⋅ ϵ σ ( T i 3 + T i 2 T j + T i T j 2 + T j 3 ) ( T i − T j ) A 1 = ϵ σ ( T i 3 + T i 2 T j + T i T j 2 + T j 3 ) 1 ( 9 ) 方程（8）对温度而言是非线性的。为求解温度差（Ti−Tj），必须对方程进行线性化处理。因此，辐射热阻依赖于节点温度，需要通过迭代计算来求解非线性问题。
质量传递与传热 ：
考虑一根已知进出口温度分别为 Ti 和 Tj 的液体流动管道。液体流过管道时的热交换速率为：
Q ˙ i j = m ⋅ C ˙ _ p i ⋅ ( T i − T j ) (10) \dot{Q}_{ij} = m \cdot \dot{C}\_{pi} \cdot (T_i - T_j) \tag{10} Q ˙ ij = m ⋅ C ˙ _ p i ⋅ ( T i − T j ) ( 10 ) 其中，ṁ 为管道质量流量（kg/s），Cpi 为上游节点处液体的比热容（J/kgK）。类似地，将方程（10）代入方程（3），得：
R i j = ( T i − T j ) ⋅ 1 m C ˙ p ( T i − T j ) = 1 m C ˙ _ p i (11) R_{ij} = (T_i - T_j) \cdot \frac{1}{m\dot{C}_p(T_i - T_j)} = \frac{1}{m\dot{C}\_{pi}} \tag{11} R ij = ( T i − T j ) ⋅ m C ˙ p ( T i − T j ) 1 = m C ˙ _ p i 1 ( 11 ) 热阻方程在不同场景下有所不同。坐标系的选择（如柱坐标系中的周向、轴向和径向）、温度相关的材料属性以及黑体假设下的辐射换热等因素均会导致热阻表达式的差异。因此，在应用热阻时，必须确保所用公式与相应的物理场景相符。
计算示例 以下一维传热示例说明了使用LPTN方法的计算过程。
本示例为一维热传导问题。固体块的尺寸如图2所示。固体块的导热系数为 k = 40W/mK，T1=T2=293.15K 分别为固体块左右两端的边界温度。
图2：固体块几何形状与等效热网络图
应用热网络方法的第一步是将几何体离散为节点。用单个体积节点代表整个固体块，用边界节点代表两端的边界条件。由此得到一个体积节点（节点1）和两个边界节点（节点2和节点3）。将这三个节点沿传热路径连接，得到如图2所示的热网络图。图中，PLoss 表示固体块的热汇，本例中无热源。
根据第3节中的公式，可得：
节点 m 与边界节点1之间的热流量为：
Q ˙ m 1 = ( T m − T 1 ) / R _ t h 1 (12) \dot{Q}_{m1} = (T_m - T_1)/R\_{th1} \tag{12} Q ˙ m 1 = ( T m − T 1 ) / R _ t h 1 ( 12 ) 类似地，节点 m 与边界节点2之间的热交换为：
Q ˙ m 2 = ( T m − T 2 ) R _ t h 2 (13) \dot{Q}_{m2} = \frac{(T_m - T_2)}{R\_{th2}} \tag{13} Q ˙ m 2 = R _ t h 2 ( T m − T 2 ) ( 13 ) 其中，Rth1、Rth2 为热阻。由于对称性成立，根据第（5）节：
R t h 1 = R t h 2 = 0.5 l k a b = 0.5 ⋅ 0.1 40 ⋅ 0.03 ⋅ 0.02 ≈ 2.083 k/W (14) R_{th1} = R_{th2} = \frac{0.5l}{kab} = \frac{0.5 \cdot 0.1}{40 \cdot 0.03 \cdot 0.02} \approx 2.083\text{k/W} \tag{14} R t h 1 = R t h 2 = kab 0.5 l = 40 ⋅ 0.03 ⋅ 0.02 0.5 ⋅ 0.1 ≈ 2.083 k/W ( 14 ) 根据公式（1），对于节点：
Q ˙ _ m 1 + Q ˙ _ m 2 − T m − T 1 R _ t h 1 − T m − T 2 R _ t h 2 = 0 (15) \dot{Q}\_{m1} + \dot{Q}\_{m2} - \frac{T_m - T_1}{R\_{th1}} - \frac{T_m - T_2}{R\_{th2}} = 0 \tag{15} Q ˙ _ m 1 + Q ˙ _ m 2 − R _ t h 1 T m − T 1 − R _ t h 2 T m − T 2 = 0 ( 15 ) 将方程（12）至（14）代入方程（15），得：
T m − T 1 R _ t h 1 + T m − T 2 R _ t h 2 = 0
\frac{T_m - T_1}{R\_{th1}} + \frac{T_m - T_2}{R\_{th2}} = 0
R _ t h 1 T m − T 1 + R _ t h 2 T m − T 2 = 0 T m = T 1 R _ t h 2 + T 2 R _ t h 2 R _ t h 1 + R _ t h 2 = 293.15 ⋅ 2.083 + 293.15 ⋅ 2.083 2.083 + 2.083 = 293.15 K (16) T_m = \frac{T_1 R\_{th2} + T_2 R\_{th2}}{R\_{th1} + R\_{th2}} = \frac{293.15 \cdot 2.083 + 293.15 \cdot 2.083}{2.083 + 2.083} = 293.15\text{ K} \tag{16} T m = R _ t h 1 + R _ t h 2 T 1 R _ t h 2 + T 2 R _ t h 2 = 2.083 + 2.083 293.15 ⋅ 2.083 + 293.15 ⋅ 2.083 = 293.15 K ( 16 ) 在无内部热源且两端边界温度相同的情况下，整个固体块的理论温度也为293.15K，与LPTN方法的计算结果一致。
为使用 n 个节点对固体块进行离散，对任意给定节点 i，均可建立能量守恒方程（即方程（1））。n 个节点将生成 n 个线性方程，可写成矩阵形式 aij Tj = bi（Ax=b）。利用线性代数求解器，可求解各节点处的温度。
图3：热网络计算结果与解析解的对比（T1 = T2 = 293.15K，Plosses = 19.2W）
当向固体块引入体积热源时，整个固体块（如图2所示）的总产热量将作用于单个体积节点。在这种情况下，使用热网络方法计算得到的温度将显著高于理论值（由一维热传导方程获得的解析解），如图3所示。
在模拟含有体积热源的情况时，热网络方法往往会高估节点温度。因此，对于涉及体积热源的热网络仿真，需要进行特殊处理以确保精度，这将在第二部分中介绍。
LPTN方法是一种通用方法，不仅适用于温度场计算，还适用于流体流动、电场、磁场等多种物理场。
参考文献：
[1] K&K Associates. Thermal Network Modeling Handbook[M]. K&K Associates, 2000.
[2] Dieter Gerling, Gurakuq Dajaku. Novel lumped-parameter thermal model for electrical systems[J]. DAJAKU Gurakuq, 2005.
