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Improving Accuracy in the Lumped-Parameter Thermal Network (LPTN) Method (2/2)

Mingyang Zhao 2025年10月22日
Improving Accuracy in the Lumped-Parameter Thermal Network (LPTN) Method (2/2)

在上一篇文章中，我们介绍了集总参数热网络（LPTN）方法的基本原理，并展示了如何利用等效热阻对传热过程进行建模。一维传热示例说明了LPTN方法能够准确预测无内部热源系统中的温度分布。然而，当引入体积热源时，LPTN方法往往会高估温度。

由于LPTN方法被广泛应用于电机温度仿真，其中各类电机损耗被建模为内部热源，因此提升其在此类问题中的精度至关重要。本文探讨了若干在存在体积热源情况下改进LPTN模型的方法。

1. 研究案例

本研究使用第一篇文章中介绍的同一固体块案例作为研究示例。

固体块尺寸
图1：固体块尺寸
固体块热网络图
图2：固体块热网络图

一个固体矩形块在两端保持恒定温度 T1T_1 和 T2T_2，同时施加均匀体积热源。传热沿块体的x方向进行。图1和图2分别展示了几何构型及对应的三节点热网络示意图。

1.1 LPTN方法

根据LPTN方法，温度关系和热通量可由第一部分中描述的控制方程推导得出。

∑j=1nQ˙ij+Si=ρiViCpidTidt(1) \sum_{j=1}^{n} \dot{Q}_{ij} + S_i = \rho_i V_i C_{pi} \frac{dT_i}{dt} \tag{1}

通过代入热阻和热生成项，可获得简化热网络中的温度分布。

1.2 解析解

同一问题的解析解可由含体积热源的一维稳态热传导方程得出：

d2Tdx2+q˙k=0(2) \frac{d^2 T}{dx^2} + \frac{\dot{q}}{k} = 0 \tag{2}

边界条件：

T(0)=T1,T(L)=T2(3) T(0) = T_1, \quad T(L) = T_2 \tag{3}

积分两次得：

T(x)=−q˙2kx2+C1x+C2(4) T(x) = -\frac{\dot{q}}{2k}x^2 + C_1x + C_2 \tag{4}

常数 C1 C_1 和 C2 C_2 由边界条件确定。

1.3 结果比较

LPTN与解析结果的比较
图3：LPTN与解析结果的比较

如图3所示，集总参数热网络（LPTN）方法预测的温度明显高于解析解所得结果。

这种偏差的产生是因为体积热源分布于整个固体中，而LPTN方法将全部热源集中在单个网络节点上，实质上将其视为点热源。因此，中间点温度被人为抬高，导致相对于解析解出现过预测现象。

2. 修正方法

为解决涉及体积热源或条状热源情况下的温度高估问题，提出了三种改进方法：

  1. 热源修正
  2. 附加额外热阻
  3. 增加节点数量

2.1 热源修正

高估的主要原因在于忽略了体积热源的空间分布。若能在网络中更准确地表示总热量，则可改善温度预测结果。

研究表明，尽管解析热通量在计算域内各处不同，但其变化率保持均匀。因此，在LPTN模型中调整所施加的热源，例如将其减小为原始量的一半，可使结果与解析解吻合。

LPTN方法中热源减半法与解析解之间的温度结果比较
图4：LPTN方法中热源减半法与解析解之间的温度结果比较

若两端边界温度相等，则中间点对应最高温度位置。
然而，当边界温度不同时，最高温度点将向较热的边界偏移。其位置可由解析解推导得出：

xmax=L(T1−T2)q˙L2/(2k)+(T1−T2)(5) x_{\text{max}} = \frac{L(T_1 - T_2)}{\dot{q}L^2 / (2k) + (T_1 - T_2)} \tag{5}

为确定正确的最高温度，可根据边界温度对热网络中的节点位置进行迭代调整，直至收敛。

热源减半法+节点位置偏移与解析解之间的温度结果比较
图5：热源减半法+节点位置偏移与解析解之间的温度结果比较

2.2 附加热阻

含内部热生成的热传导控制方程为泊松方程。由于其线性性质，可利用叠加原理将其分解为两个独立问题：

  1. 代表纯导热（无热源）的问题。
  2. 代表由热源引起的温度增量的问题。

无热源子问题与LPTN假设高度吻合。第二个子问题代表热生成，可在网络中建模为附加的修正热阻。

温度修正热网络图
图6：温度修正热网络图

对于该修正网络，附加修正热阻 Rx3 R_{x3} 可推导如下：

d2Tdx2=−q˙k(6) \frac{d^2 T}{dx^2} = -\frac{\dot{q}}{k} \tag{6}

边界条件为：

T(0)=0,T(L)=0(7) T(0) = 0, \quad T(L) = 0 \tag{7}

积分得平均修正温度 Tˉ \bar{T} ：

Tˉ=q˙L212k(8) \bar{T} = \frac{\dot{q}L^2}{12k} \tag{8}

等效修正热阻可由能量守恒得出：

Rx3=−L6kA(9) R_{x3} = -\frac{L}{6kA} \tag{9}

Rx3 R_{x3} 的负值意味着热量表观上从低温区流向高温区，这在物理上不合理，但在计算上是有效的。它通过降低预测的中间点温度来抵消LPTN的温度高估。

当 q˙=0 \dot{q} = 0 时，方程退化为无内部热源的传统LPTN模型。

2.3 增加网络节点

由于传统LPTN模型将整个几何体集总为少数节点，因此会损失空间分辨率，对于分布式热生成系统的精度较低。增加节点数量有助于更有效地捕捉这种空间依赖性。

在无限多节点的极限情况下，可精确重现解析温度分布。然而，这种方法会增加计算成本和建模复杂度。

现代工具（如shonTA）采用灵活的模板，允许在轴向和径向方向上进行任意节点离散化。借助并行处理支持，这些模型可在精度与效率之间取得平衡。

shonTA电机模板，展示a) 转子周向投影；b) 离散节点图；c) 温度场云图
图7：shonTA电机模板，展示a) 转子周向几何投影；b) 转子离散节点图；c) 转子温度场云图

3. 总结

当存在体积热源时，传统热网络方法往往相对于解析结果过预测温度。
可采用三种实用的修正策略：

  • 热源修正法

    • 调整总热生成量（例如将热源减半）。
    • 与最高温度吻合，但减少了系统总能量。
    • 若边界温度不同，则需重新定位节点。

  • 附加热阻法

    • 引入修正负热阻以平衡高估现象。
    • 确保更准确的平均温度。

  • 增加网络节点

    • 提高空间精度。
    • 增加计算成本和建模工作量。

这些技术共同提升了LPTN方法在含内部热生成系统（如电机和高密度热系统）中的可靠性。

参考文献

[1] Dieter Gerling, Gurakuq Dajaku. Novel lumped-parameter thermal model for electrical systems. 2005.
[2] R. Wrobel, P. H. Mellor. A General Cuboidal Element for Three-Dimensional Thermal Modelling. IEEE Transactions on Magnetics, 2010.

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