堰下游：回流区模拟

引言

堰是最简单的水工结构之一。它在一侧拦截水流，使水从固定堰顶溢过，跌入下方水体。从岸边看，结果往往显得平淡无奇。水位落差可能不足一米，堰下水面看似平静，没有明显的危险迹象。这正是低水头堰在救援部门中被称为"溺水机器"的原因。

两种流态

问题产生于堰脚处。水流在下泄过程中不断加速，到达底部时流速快、水深浅；而同一渠道下游的水体则流速慢、水深大。这两种状态并非简单的程度之别，而是明渠水流在物理上截然不同的两种状态，危险正是来自于在极短距离内强制完成从一种状态到另一种状态的转换。

区分这两种状态的物理量是弗劳德数。它将水流速度与波沿水面传播的速度进行比较。在浅水中，波速仅取决于水深，

其中g为重力加速度，h为水深。弗劳德数是水流速度与波速之比，

当水流速度低于波速时，弗劳德数小于1，水流为缓流。扰动仍可向上游传播，水流深度大、流速缓。这是河流的常见状态。当水流速度超过波速时，弗劳德数大于1，水流为急流。扰动无法再向上游传播，水流以薄而快的水层形式流动。从堰顶下泄的水流为急流，而它所汇入的较慢、较深的水体则不是。

水跃

两种状态之间的转换称为水跃。水流急剧减速并大幅增厚，这一过程十分剧烈，因为水流在下泄过程中获得的大部分能量在此过程中耗散。水流增厚的程度并非偶然，而是由动量守恒定律决定：对于给定的急流，水跃后的深度是唯一确定的，称为共轭水深。该共轭水深是来流水层厚度的数倍。

接下来发生什么完全取决于堰下游的实际水深。若下游水深恰好等于共轭水深，水跃以可见的破碎波形式驻立，无人会将其误认为平静水面。若下游水深大于共轭水深，水跃则无处驻立——它被淹没。快速水流不再形成表面波，而是潜入水面以下沿河床继续前进，而上方的水体则被拖拽向上游、朝堰体方向回流。这种逆向表面水流是水力滚轴的典型特征。它稳定、自持，且较为平静：下游水越深，表面就越难以显示其下方正在发生的情况。

上方示意图以侧视图展示了这一机理，水流从左向右流动。水流越过堰顶，跌入下游较深、较慢的水体。在河床附近，水流继续向下游流动并最终离开该区域。在水面附近，水流则反向流动，回流至堰体，形成闭合环流。回流表面水流与来流相遇之处，正是漂浮物被卷入水下的位置。

该示意图具有通用性，且经过了有意简化。图中显示的是垂直面，但该机理并不依赖于水流的自由跌落。关键在于水流以快速、浅薄的状态到达建筑物脚部，并必须让位于下游的慢速深水。斜面（即下文模拟所采用的几何形状）同样会产生相同的滚轴，甚至可能产生更强的滚轴，因为水流保持附壁而不在空中破碎，下泄过程中能量损失更少，到达底部时携带更多动量。斜面也夹带较少空气，这意味着白水更少，表面更难以反映其下方发生的情况。示意图右侧的上游水池同样只是为了使图示完整——正如下一节所述，模拟中根本未对其建模。

为何滚轴是陷阱

对于任何漂浮物而言，这都是一个陷阱。进入滚轴的游泳者、皮划艇或漂浮杂物，会被表面水流带回堰体方向，被来流压入水下，在河床附近被向下游输运，然后在回流单元的下游端被抬升至水面，如此循环往复。逃脱路径有限且违反直觉。向下游明显平静的水面游去，意味着直接逆着回流的表面水流游动，而在水面处，该回流正是整个区域流速最快的水流。滚轴内部的水体也大量夹带气泡，使其有效密度降低，浮力远小于清水，导致保持在水面比正常情况下困难得多。唯一可靠的逃脱方式是向下沿河床游出，或从滚轴两端横向逃脱，而这两种方式对于处于危险中的人来说都不直观。

难以预测的原因

某座堰是否会形成危险的滚轴、滚轴向下游延伸多远，以及回流速度有多强，这些都对流量、堰顶和下游面的几何形状，尤其是尾水深度与共轭水深的比较关系十分敏感。下游水位的微小变化可使一座建筑物在无害与危险之间转变，这就是为何同一座堰在某一流量下安全，而在另一流量下却致命。正是这种敏感性使得本案例在模拟方面颇具价值：相关量并非简单堰流公式所能提供，而是局部速度场、回流单元的范围以及漂浮物在其中的运动轨迹。

案例描述

设置

本模拟复现了实验室尺度的水槽，仅对堰顶以下的水流进行建模。水槽长1 m、宽10 cm，初始状态预充满水。上游端设有一个26 cm高的弯曲斜坡，顶部陡峭，底部过渡至水平。水流通过斜坡顶部的矩形入口进入。下游处横跨水槽设有一个多孔块体，其后水槽以自由出口结束。

计算为瞬态，覆盖40 s物理时间。流场稳定后，在15 s时刻在斜坡上方释放一根圆柱体。圆柱体长7.5 cm、直径1.5 cm，密度为1100 kg/m³。

建模选择

设置中有三个部分需要说明：缺失的上游水头、多孔块体以及圆柱体的密度。

上游水头未进行建模。堰下发生的情况取决于越过堰顶的水量及流速，而非提供水量的水库。以固定入口代替上游水池，将计算分辨率集中于感兴趣的流动区域，而非大体积的近似静止水体。

多孔块体设定了尾水深度。只有当堰下水体足够深以淹没水跃时，滚轴才会形成。在带自由出口的短水槽中，水体会流走并保持浅水状态，因此需要流阻来维持水位。该块体代替现实中起此作用的任何结构，无论是渠道糙率、下游河段还是第二道堰，它通过单一物理参数而非人为边界条件来设定水深。其Darcy-Forchheimer系数经过调整以获得所需水深。

圆柱体密度刻意大于水，原因有两个。第一个原因是浮力。真实滚轴中的水体大量夹带气泡，其有效密度远低于清水，使原本能在清水中漂浮的物体被压入水下。在清水模拟中提高圆柱体密度可以复现这一效应，且较为保守：在密度为700 kg/m³的混合物中，密度为1000 kg/m³的物体密度比约为1.4，而圆柱体的密度比为1.1。第二个原因是尺度。在直径1.5 cm时，表面张力和接触角相对于物体的作用远强于全尺寸原木，会使接近中性浮力的圆柱体停留在水面。这是模型尺度的伪影而非真实效应，密度较大的圆柱体则处于水面以下。密度较大并不意味着它会沉底并沿河床离开：滚轴下游端的上升水流将其抬起，回流将其带回，来流再次将其压入水下。

形成的流态

水流以约0.2 m/s的速度缓慢进入计算域，在重力作用下沿斜坡加速。在与水面相交处，水流速度已达约1.9 m/s，水层厚度约3 mm，弗劳德数约为10。

斜坡高26 cm，但下游水深仅8 cm。水流在斜坡上部18 cm处与空气接触并在重力作用下加速，在水面处（距河床8 cm高度）进入下游水体。从此处起，水流沿斜坡淹没的下部行进，斜坡将其从陡峭引导至水平方向。这就是为何快速水流最终沿河床流动而非直接冲入河床，以及为何滚轴能在其上方形成。

这样的水流通过水跃进入下游状态所需的共轭水深约为4.8 cm。距斜坡25 cm处的采样线显示稳定水深为8.4 cm，约为该值的1.75倍。因此，水跃被淹没，无法以可见波形驻立，其能量转而供给滚轴。

分辨率

0.75 mm的粒子半径使得水流最薄处（进入水体处）横跨约两个粒子，因此碰撞的最初时刻被平滑处理。水流在数厘米内增厚，滚轴本身深度超过8 cm，跨越五十多个粒子直径。即使在入流处分辨率不足的情况下，感兴趣的结构也能得到良好分辨。

模型局限性

这是一个单相模拟。空气未建模，因此真实滚轴中大量的气泡夹带及由此产生的白水在模型中天然缺失，而非仅仅是比例失当。模拟能正确复现的是水流结构、滚轴的位置和范围以及逆向水流。另一个较轻微的局限是尺度：在数厘米水深时，表面张力相对于全尺寸堰来说过强。因此，本案例旨在演示机理，而非作为水力相似意义上的缩尺模型，依赖于气泡夹带的效应（如真实滚轴内部浮力降低）必须单独考虑，正如在圆柱体密度选择中所做的那样。

结果

达到稳态

在从流场中读取任何结果之前，模拟必须先达到稳定状态。下图对比了通过入口进入计算域的体积流量与从多孔块体下游开放端离开的体积流量。

入流为规定边界条件，因此近似为0.58 l/s的平直线，即本案例运行的35 l/min流量。其上的细微散点是粒子离散化在固定平面通量计算中的体现，而非波动的边界条件。出流量初始值明显高于该值，随后逐渐衰减趋近。原因在于初始条件。水槽初始为预充满状态，部分初始水体位于多孔块体下游且无任何阻拦，水池本身的初始水位也高于块体最终稳定后的水位。因此，在最初几秒内，水槽在接收来流的同时还释放储存的水体。

两条曲线之间的差值正是该释放速率，约二十秒后差值消失。由此可得出两点结论。第一，水槽已找到其平衡状态：水池水位已降至多孔块体阻力与来流平衡的深度，即采样线处测得的8.4 cm。第二，这是对模拟本身的验证。出流量收敛于规定的入流量而非接近该值的某个数，这确认了在40秒的运行中，自由液面和多孔区域没有悄悄地增加或损失水量。

这也是圆柱体在15秒时释放的原因。此时滚轴已完全发展，剩余不平衡量已降至百分之几，因此圆柱体的运动反映的是已建立流场的特性，而非启动过程的特性。

滚轴

下图显示了发展流场中的路径线，按速度大小着色，斜坡位于左侧。

引言中描述的所有现象在一张图中均清晰可见。水流以计算域内最高速度沿斜坡下行，约1.5 m/s，局部超过该值。这略低于重力单独作用于18 cm落差所给出的1.9 m/s，差距来自斜坡摩擦。在斜坡底部，水流并未直接冲入河床。斜坡的曲率将水流转向水平方向，水流继续以紧贴河床的快速水层向下游流动，速度仍远高于周围水体。

在该水层上方，情形恰好相反。路径线折回朝向斜坡，形成一个大的回流单元，其中心为低速核心，表面为回流。这就是水力滚轴，圆柱体位于其中。注意回流速度远低于驱动它的水流速度。自由水跃本会以可见破碎波形式耗散的能量，在此转而分布于漫长、缓慢的封闭环流中，这正是其上方水面几乎毫无异常迹象的原因。

更下游处，随着水流到达多孔块体，路径线失去规律性，速度趋近于零。滚轴并不延伸至那么远。它占据斜坡正下方的区域，在自身与水槽末端之间留下一段真正平静的水域，这正是从岸边看起来安全的水面。

滚轴中的圆柱体

下方视频涵盖模拟时间10至40秒，展示了圆柱体在15秒时进入水中的过程。

圆柱体在斜坡处释放，被来流携带并压入水下。此后，它随环流而非平均流动：在河床附近被向下游输运，在回流单元远端被抬起，沿水面返回斜坡，再次被压入水下。在随后的25秒内，它始终未离开回流区。同一时段内，以35 l/min的流量通过约容积8升的水槽，全部水体交换了约两次。圆柱体置身其中，净位移为零。

平均速度场

路径线和视频展示了滚轴，但未能对其进行定量测量。为此，对流向速度在20至40秒的时间段内进行时均处理，该时间段处于准稳态窗口内，且足够长以覆盖数个完整的流动翻转周期。下图以侧视图展示了该平均场。蓝色表示向下游流动的水流，橙色表示向斜坡方向回流，黑线为平均流向速度恰好为零的等值线。

该零线是以测量方式勾勒出的滚轴轮廓。零线以下，水流沿河床向下游流动，在紧接斜坡后方最快，平均速度约1 m/s。零线以上，水流反向流动，回流至斜坡，即逆向表面水流。两者共同封闭回流单元。沿水面读取，回流持续至距斜坡约69 cm处，零线在此最终升至水面，滚轴随之结束。在后三分之一段，快速水流脱离河床向水面升起，这就是河床附近深色区域在此消退的原因。

逆向表面水流的强度正是滚轴危险性所在。其峰值约为0.44 m/s，方向朝向上游、朝向斜坡，且沿水面流动。这是漂浮物要到达下游平静水域所必须克服的水流，也是为何向该方向逃脱需要逆着整个区域最强的表面水流。

水深剖面在斜坡后方三个断面处对同一结构进行了定量表征。每条剖面均穿越零值：河床附近为正值，水面附近为负值。过零点位于略低于中间水深处，随距斜坡距离增大而略有上升，这正是速度场零线从侧面观察时的体现。近河床速度向下游减弱，从10 cm处的约0.9 m/s降至30 cm处的0.6 m/s，因为水流将动量传递给周围水体。相比之下，水面处的逆向水流在三个断面处均接近峰值，这使其在滚轴全长范围内都是可靠的陷阱。

这正是圆柱体被投入的流场。其轨迹（见下文描述）保持在距斜坡3至54 cm之间，完全处于上述逆流区域内。

轨迹揭示的信息

圆柱体质心可直接追踪，从而将该观测转化为定量数据。下图以侧视图展示其轨迹，按时间着色。

轨迹本身勾勒出滚轴的轮廓。它从距斜坡底部约3 cm处延伸至最远点54 cm处，因此回流区长度约为半米，约为其所在水池深度的六倍。在垂直方向上，它几乎覆盖全部可用空间，从距河床9 mm处延伸至8.4 cm处的自由液面。圆柱体不会在某一高度稳定并漂移，而是反复循环经历该区域的全部水深。

颜色揭示了第二点。明暗两色的环路相互叠合，说明环流在观测的25秒内没有衰减。最后一圈与第一圈相当。

以时间为轴绘制，运动规律一目了然。圆柱体在25秒内完成四圈完整循环，每圈历时五至七秒。它向下游行进，折返，回至距斜坡数厘米处，再次出发。它最远到达54 cm处，距多孔块体仍有17 cm，而该次偏移之后是整个记录中最急剧的返回。

关键的两个数字如下。圆柱体沿轨迹共行进4.60 m。同一25秒内，其净位移为1.8 cm。它行进了超过四倍水槽长度的距离，最终回到起点附近。

这一测量结果道出了全部危险所在。水并非抓住了圆柱体，而是不断流过并离开，圆柱体被困于一个环流之中，其唯一出口在沿河床方向，这恰恰是处于同样困境中的人绝不会选择的方向。

有一点需要说明。在横向方向，圆柱体不规律地游荡于几乎整个水槽宽度，距侧壁仅数毫米。该运动与流向环流无相关性，因此滚轴并非完全二维的。捕获机理不受此影响，但这提醒我们，真实结构是三维的，上述侧视图只是其投影。

总结

本案例研究模拟了堰下游水流，以展示水力滚轴的形成机理及其捕获漂浮物的原因。当快速浅水流遇到较慢的深水且下游水位高于共轭水深时，水跃被淹没，转变为带有逆向表面水流的封闭回流单元。正是这种滚轴使低水头堰获得了"溺水机器"的称号，因为水面看起来平静，而表面回流却将一切漂浮物带回堰体方向。

水流采用基于粒子法的求解器shonDy在实验室尺度水槽中进行建模。仅对堰顶以下区域进行模拟：以带固定入口的弯曲斜坡代替上游水头，以多孔块体设定尾水深度，使水跃被淹没。计算为40秒的瞬态过程，流场稳定后在斜坡处释放一根密度略大于水的圆柱体，作为捕获机理的示踪体。

结果证实了该机理并对其进行了定量表征。进出流量在约20秒后收敛，既建立了准稳态，又验证了整个计算过程中的质量守恒。时均速度场直接分辨出滚轴：沿河床的快速水流、峰值约0.44 m/s的逆向表面水流，以及标记回流区边界的零速度线，该边界延伸至距斜坡约69 cm处。示踪体始终未离开该区域。在25秒内，示踪体完成四圈循环，沿轨迹行进4.6 m，最终距起点1.8 cm，而周围水体则两次穿过水槽并离开计算域。

综合而言，模拟在单次瞬态计算中捕捉了自由液面、淹没水跃、逆向表面水流以及漂浮体的运动。这使得基于粒子法的自由液面CFD成为评估堰安全性的实用工具，决定结构是否危险的量——局部速度场以及滚轴的范围和强度——与流量和尾水深度之间的关系，是简单堰流公式所无法提供的。