Hier wird die Erstarrung einer Flüssigkeit mit der analytischen Lösung validiert, die als das Neumann-Problem bekannt ist. Die analytische Lösung dieses Erstarrungsproblems wird zum Beispiel von Hu et al.[1] und Kawahara et al.[2] verwendet.
Beschreibung des Experiments
Ein anfänglich flüssiger Block wird von einer Seite unter seinen Schmelzpunkt gekühlt. Die analytische Lösung für die Temperaturverteilung und die Position der Schmelzfront ist verfügbar zum Vergleich mit den Simulationsdaten. Die Position der Schmelzfront kann wie folgt bezogen werden:
$$ x(t) =2Q \sqrt{\alpha t}~~~~~~(1)$$
Q wird aus einer transzendenten Gleichung erhalten, die von den Materialeigenschaften abhängt und ergibt sich zu 1,19 für die in diesem Vergleich verwendeten Materialeigenschaften. α ist die thermische Diffusivität und t die Zeit. Die analytische Lösung für die Temperatur in der festen Phase ist
$$T_s(x, t) = T_w + (T_m - T_w) * \frac{erf(x / (2.0 * \sqrt{\alpha_s *t)})} { erf(Q)}~~~~~~(2)$$
und für die flüssige Phase
$$ T_l(x, t) = T_{inf} + (T_m - T_{inf}) * \frac{erfc(x / (2.0 * \sqrt{\alpha_l * t}))} {erfc(Q)}~~~~~~(3)$$
Die thermophysikalischen Eigenschaften sind in der Tabelle zusammengefasst.
| Parameter | Wert |
|---|---|
| Wärmeleitfähigkeit | 400 W/(m*K) |
| Dichte | 1000,0 kg/m³ |
| Spezifische Wärmekapazität | 1000,0 J/(kg*K) |
| Latente Wärme | 200000,0 J/m³ |
| Tlinke Wand | 173,15 K |
| Trechte Wand | 283,15 K |
| TSchmelze anfänglich | 283,15 K |
Beschreibung des Simulationsaufbaus
Eine zweidimensionale Simulation wird mit einer Partikelregion für die Schmelze und zwei Polygonen Regionen für die linke und rechte Wand aufgesetzt. Der Partikelradius wird auf 0,001 m gesetzt und der Einfluss der Schwerkraft wird vernachlässigt. Die geometrische Anordnung mit dem initialen Partikelbereich ist in der untenstehenden Abbildung dargestellt. Temperatursonden werden entlang der x-Achse platziert, um sie mit dem analytischen Ergebnis zu vergleichen. Die Anfangstemperatur der Flüssigkeit wird auf 283,15 K festgelegt. Die linke Wand wird auf eine konstante Temperatur von 173,15 K gesetzt. Diese Wand wird verwendet, um die Ausgangsflüssigkeit unter ihren Erstarrungspunkt abzukühlen. Die rechte Wand ist auf die gleiche Temperatur eingestellt wie die Anfangstemperatur der Flüssigkeit.
Vergleich der Simulationsergebnisse mit dem Experiment
Das Simulationsergebnis der Temperaturverteilung zum Zeitpunkt t = 4 s ist in der folgenden Abbildung dargestellt. Die linke und rechte Wand wird auf ihre konstanten Anfangstemperaturen gehalten. Die Flüssigkeit wird von links ausgehend abgekühlt.
Die Diagramme zeigen den Vergleich zwischen den analytischen und den Simulations-Ergebnissen zum Zeitpunkt t = 4 s. Im linken Diagramm stellt die schwarze Linie das analytische Ergebnis für die erstarrte Schmelze dar (siehe Gleichung (2)), während die grüne Linie die Temperaturverteilung für die flüssige Phase wiedergibt (siehe Gleichung (3)). Die blauen Punkte entsprechen den simulierten Temperaturen, die von den Temperatursonden gemeldet wurden. Insgesamt zeigen die analytischen und simulierten Ergebnisse eine gute Übereinstimmung.
Das Fortschreiten der Erstarrungsfront wird im Diagramm rechts verglichen. Das analytische Ergebnis (schwarze Linie) wird mithilfe der Gleichung (1) berechnet, während die roten Punkte die Simulationsergebnisse darstellen.
[1] H. Hu and S. A. Argyropoulos, “Mathematical modelling of solidification and melting: a review”, Modelling and Simulation in Materials Science and Engineering, vol. 4, no. 4, p. 371, 1996.
[2] T. Kawahara and Y. Oka, “Ex-vessel molten core solidification behavior by moving particle semi-implicit method”, Journal of Nuclear Science and Technology, vol. 49, no. 12, pp. 1156-1164, 2012.
